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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A． B． C． D．
2．已知集合，则中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数的图像大致为
4．已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
6．在中，，，，则
A． B． C． D．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
A．
B．
C．
D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A．-50 B．0 C．2 D．50
12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若满足约束条件 则的最大值为__________．
15．已知，，则__________．
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题
13． 14．9 15． 16．
三、解答题
17．解：
（1）设的公差为d，由题意得．
由得d=2．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）由题意得，l的方程为．
设，
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．
因此l的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则解得或
因此所求圆的方程为或．
20．解：
（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且，．
由知．
由知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得取平面的法向量．设，则．
设平面的法向量为．
由得，可取，
所以．
由已知可得．
所以．解得（舍去），．
所以．
又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
21．解：
（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
22．解：
（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
23．解：
（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是
