当然高观点基本需要很多前置知识，比如你不知道什么是群自然不可能有群论的观点，你对上同调不熟悉也看不懂上面贴出来的回答。不过数学的奇妙之处在于，当你对数学的理解到一定境界以后，你之前学习过程中当时感觉高深莫测的东西，很多都成了显然的。。我毫不怀疑Thurston操作3维流形就像我们处理平面图形一样自然、不费力，而站在他的境界看我们，也许就是一群理解不了3维图形的2维生物吧。。
但当你关注具体情况时，就不得不自己填补这些细节信息。因此当高度不贴合要解决的问题时，人们就埋怨它们是“正确的废话”，就是我们常说的“听了那么多道理，依然过不好这一生”，正是因为这些概括不描述细节，才能如此简单。
但高度和细节各有好处，需要我们自己收放自如。正如用手机查看图片时，会放大缩小到一个合适的视野一样，高视野用于定位。
一个是笛沙格定理，高中搞过竞赛的对于这一定理的证明的印象大概都是基于梅逆、面积法、三角之类，例如：（借用潘成华老师的图，来源：笛沙格定理证明）
偶尔会有“抖机灵”的告诉你可用立体几何知识秒解，而事实上其本质即在射影几何中三维+笛沙格定理的证明，而笛沙格定理在二维情况下必须作为公理，或者应该说存在笛沙格定理不成立的平面：
所以说在增加平行公理后的欧氏平面中笛沙格定理自然是成立的，也就能够通过初等的手段推导而出只是称其是在绕圈子也不为过2333。
然而这一更为严谨的观点我至今并没有在国内市面上的高中竞赛辅导书上看到，甚至连提及都没有。（当然也可能是我书读的少QAQ）
事实上这个推广也是陈的，一些竞赛大佬后来以此撰文投了一些较有声势的比赛，当时较闲给组委会写了封信，塞了推广的一些更早出处以及推广与原结论的等价性（后面会提到），组委会的回复是这样的：
也就是不了了之了，这位大佬最终的成绩也是不错，更多的我也不想意见了，只想说：研究课题前了解研究现况是必须的，“底子厚，兴趣大”不是借口.
田老师几何构造能力了得，结合极点极线同样可以较为初等地证明，而接下来我们再介绍利用射影变换的处理：
同样地，射影变换此类贴近欧氏几何的变换在国内市面上的几何变换竞赛书中有介绍者甚少，而完善运用者无。
谢@机器熊邀。这句话经常听各处的professors在讲，能够说明这句话的佐证简直太多了，多到不知道从何说起。这里就写一个杂谈，想到什么说什么吧。
这句话里面的“显得”二字非常有趣。并不是说高观点下的数学证明可以从原来的十页变成一页，而是这个证明的精神可以浓缩到几行字甚至一句话。不过要把这一句话补完成完整的严格的证明，背后的数学可能需要更多的篇幅也说不定。但是在这个语境之下，可以回答一个根本性的问题：为什么一个定理是对的。这就像是挖矿一样。一个数学定理就像一片金矿，一锤一凿的功夫必不可少，但是也要去回答为什么那个位置有一片金矿。
而所谓的高观点，其实就是站得高看得远的意思。具体来说，就是不局限于眼前的具体例子，而能看到与其他例子，与各种可能的情况之间的联系；甚至是不局限于眼前的一个方向，能够看到与其他领域其他对象的联系。看的越多，越能找到共性，从而能够抽出证明里面最核心的东西。我看了一下原书，里面提了很多很好的例子了，这里我也举几个例子吧。
Cayley-Hamilton定理。这怕是线性代数里面第一个不那么平凡的定理了。定理的叙述只用到了矩阵，矩阵的加法乘法以及行列式。如果只是从矩阵本身，证明是很复杂的，而且没办法看不到本质。比如说把矩阵相似到三角化来证明，但是这只对代数闭域才对，所以还要额外地去做分式域取闭包，这就不算是一个好的证明。但是用环和模的语言来看，这个定理就非常直接了。
向量的混合积和双重外积公式。单从定义本身出发，套坐标进去算就是了，这不是一个复杂的证明，但是不够好。一个很好的方法是把混合积看成体积，这就建立了联系，混合积公式就自然而然成立了。而另一个看法是用把四元数和三维向量联系起来，这时这两个公式是四元数的结合律的直接推论。
说一个高观点下证明本身可能变复杂的。考虑单位圆上面的求导算子或者是Laplacian. 因为圆上面可以做Fourier变换，而那些基函数恰好都是求导算子的特征向量，所以所有好的结论，比如说Sobolev嵌入定理，紧嵌入定理，正则性，Fredholm指标全部可以看出来。但是如果停在这里就没意思了。更高的观点下面这其实就是紧流形上椭圆算子的性质，可以用拟微分算子的语言写出来。虽然证明完全没有变简单，但是可以适用于更广的情形了。
范畴论可谓是高到云端的观点了。我想代数几何里面应该有很多例子吧。但我不是专家。对我而言一个初等的例子是van Kampen定理，如果不用范畴论，这个定理连叙述起来都很复杂，遑论证明了。但是在范畴论的语言下这就一句话，而且也有相应这一句话的简化的证明。
. 虽然我一时间没想起来，但是这个肯定是用初等的方法能算出来的。但是这个看成是泊松分布的中心极限定理，用概率的方法一下子就出来了。虽然中心极限定理的证明比较复杂，但至少是一件非常自然的事情。
高观点下很多问题之间有更广泛的可迁移性，也就是理论更“普适”。在这个普适的理论框架下，就会有很多人去做一些工具，数学上叫定理，编程中叫宏包，凡是在这个框架下的问题你总可以直接调用这些工具来快速完成你的project。更高的观点没有减少总的工作量，但会让其中一部分工作不必每次都重复，效果上减少了平均的工作量。这里的project不止是完成一个计算/证明/工程，还包括理解一个模型。从零开始理解需要你从零开始构建大脑中的某个识别神经网络，但如果习得了一个高观点下的抽象理论，那么面对该理论中的模型就可以通过style transfer加快学习速度。
对于一个只了解牛顿三定律的人来说，要证明万有引力下的行星轨道是椭圆，就要解两个互相耦合的关于力的二阶微分方程
在数学方面，观点越高意味着抽象程度越高，而这也意味着在更抽象的设定和描述下，定义所能描述的结构和含义能更丰富，其实也就是能提供更多的有效信息，但前提是这些有效信息是为你所了解的
因此从这个角度来看，都不一定需要更高的层次，我们学数学的在遇到问题的时候，问的最多的问题恐怕就是这是怎么定义的？是不是well-defined，因为我们需要明确问题在什么样的语境或者设定下讨论，这一点是非常重要的，因为问题的设定和定义直接决定了我们会从什么样的角度来分析它，横看成岭侧成峰，山脊和山峰的难度可是大不相同。
上图是梅氏定理的证明，如果限于平面的话，我们需要对好几个三角形进行面积或者长度的比例方面的讨论，但往三维的方向扩展一下，我们能轻而易举的把所有的比例统一到空间的垂直距离上去，这就是空间维度带给我们的额外信息。
然后是这几天我上高中的小妹妹有问我一道很经典的立体几何题，0=x=y=z=1，满足这样条件的点的体积是多少？高中生一般都是利用对称性和空间想象判断出这是一个三棱锥，然后去计算体积为1/6，而如果我们从概率的角度去看，x,y,z的大小顺序有6种，每一种都是等价的，那么概率自然就是1/6咯。
个人觉得初等数学之所以难学，就是因为在高中数学的框架里，没有一个普适的工具来将各个分支统一起来。而数学的强大就在于抽象，等到我们掌握了一些分析和代数技巧再回过头来看这些初等问题，你都可以抓到他们的来源，洞悉其背景。
我们常常说手上有锤子，看什么都是钉子，而数学的魅力还在于我们尝试从各种不同的角度去欣赏，解析问题，去从新的角度去开发各种不一样的工具，什么钳子啊，扳手啊，去寻找问题最薄弱的一面，然后砰的一声，事情就这么成了。
当然其实最厉害的还是以深厚的内功创立一个极其强大的框架，把各种角度都统一起来，然后我们就幸福的在其中敲钉子啦～～
观点高，说明你用了新的“更好”的描述语言。这个语言的建立是需要很多基础的，因此新的语言事实上囊括了很多基础的语言。因此同样阐述一个事实，新语言说起来有时更简洁。
我没有高论，只能举个例子，“混沌理论”。（混沌理论就是一个应证了“观点越高，事情显得越简单”的例子。为了不显得枯燥，我只拿了分形来描述，毕竟对于一般人，图形更加直观易懂。下面叙述的是分形，它并不是混沌理论的全部内容，也不全是混沌理论的内容，却是混沌理论中重要的代表，所以别扣字眼吧。更多混沌理论的资料我放在尾部，我不是这方面专家，大家有兴趣可以自己找资料学习。——2018.11.18根据评论反馈特意加注）
在寻找混沌理论的路途上有一个理论是发现了一个规律——“一切复杂源于简单规则”——曼德布罗特分形理论。
20世纪50年代的后期，曼德布罗特在IBM工作，在一种当时新科技产物的超级计算机的帮助下，他开始研究一个个分外奇妙，却相当简单的方程式。根据此方程式可以画出极不寻常的图形。至今发现的最著名的数学图形之一——曼德布罗特集——被誉为上帝的指纹！
这个方程有一个非常重要的性质，它可以反馈到自身。这种反馈意味着一个奇妙的简单的数学公式可以产生无限复杂的图图形。
当我们观察责任的复杂性，我们会问：“那是怎么回事？”头脑冒出某种声音说，复杂性不是从简单性而来的，而是从复杂而来。但这个领域中的数学告诉我们的是，非常简单的规则可以自然地导致极复杂事物的发生。观察这个事物，看起来很复杂。思考它的内在法则，很简单。从两个不同的角度看，同一事物既是简单的也是复杂的。那么我们就得重新考虑简单性和复杂性之间关系了。
我们所处的自然界真的是一片混乱，充满各种奇怪的形态和纹理，毫无规律可循。一切都是无法形容的多样化，一切没什么是完全重复的。在没有混沌理论之前，我们无法理解这些复杂为什么如此复杂。而混沌理论这个高于以前认知的观点提出，曾经看似那么复杂的事情就显得简单了。
观点的提炼，对创作者（抽象化／往上移动）具有代价，也即边上的权值；观点的理解，对接受者（具体拿来用／往下移动）也具有代价。
于是观点越高，看起来（表达）越简单，但理解起来越难（需要具体化）。同时也覆盖了无关的东西。观点越低，看起来（表达）越繁琐，但理解起来越容易（立即可用）。
一个是 《微积分五讲》好像也以《简明微积分》的名字出版过 开宗明义： « 微积分的高峰就是stokes定理” 。这个观点带领下 高屋建瓴 整个脉络十分清晰 数分里的ε-σ语言都成了细节。当然 细节并非不重要 高楼也是一块块砖建成的 但全局在心的话 爬台阶的时候更加心里有数。
另一本是《简明复分析》。复分析并不是二元微积分，龚老师从共轭微分算子入手 把这里的区别讲的非常清晰，然后继续用它，很多复杂的证明都简单了。打个比方，一个公园可能有好几个门 好几条路线 龚老师独辟蹊径 用最省力的方式带领我们游遍了各个景点
如果简单指“难度低”：你学习高观点知识的过程相当于你已经把原本要理解的问题学习了一遍，回过头看肯定容易啊。
如果简单指“形式简洁”：低观点的问题往往是高观点理论的特例，在高观点下很多细节被屏蔽了，表述起来就更简洁。
一句格言，在完全正确理解了他的年轻人嘴里，总是没有生活经历复杂的成年人口中说出来那么有味道。
拿一个做题时解题的思路来说，有时候需要分很多种情况进行讨论，每种情况对应一种解题方案，当时的你觉得思维好缜密，滴水不漏。但是越了解越深，逐渐会发现，其实他们都是有很强的内在联系。甚至说仅一个准则，就能解决所有。
这本书英文标题中，standpoint翻译成立足点（层次）似乎更合适一些，advanced翻译成高级的、先进的似乎更合适一些。所以估计，“事情”，“简单”，“显得”的翻译都欠精确。特别是，我们要看清楚什么事情？
advanced standpoint并不仅仅是用一个概念总括其定义的内涵和外延，也不仅仅是抽象（抽象只是它的一个外部特征），也不是什么莫名其妙的简单可以产生复杂的哲学式废话，更不是中国哲学式的什么呓语。
简单说，在追求一般化的过程中，所获得的本质。比如，从算术到方程、到代数（一个分支）、到函数（另一个分支），到泛函，逐渐剥离“多余”的属性，而只留下量、测度、空间、集合、算子等等这样的“本质”。
比如鸡兔同笼，韩信点兵，等等，当我们采用方程这样的advanced standpoint（相对于中国古老算术）时，这个advanced standpoing可以使我们抛掉鸡、兔、兵等这些“多余”的东西，因而就可以“更简单地看清事情”——鸡和兔的只数的“量”、鸡和兔的头和脚的“量”，以及这几个“量”之间的关系。
事实上，在学前阶段，最重要的就是建立“数”的概念，而在小学阶段，最重要的就是建立“量”的概念。小学所谓的奥数，专家们一直没说清楚的是：奥数最为关键的就是“量”，从问题中抽取“量”的概念，以及“量”的计算模型及方式。而各种奥数老师，他们自己都未必清楚“量”的含义。对于智商稍高一点的儿童而言，“量”的概念是很容易理解的，顶破天也就是半节课而已。智商更高一些的儿童，掌握“量”之间的关系应该也不会太难。自行发现“量”的概念及“量”之间的关系的应该是天才儿童吧。
这里有一个具体的小学奥数题目：小明家里有一群小猫，今天他拿了一桶鱼来分给它们，如果每只小猫拿走6条鱼就会差20条鱼，如果每只小猫拿走5条鱼就会剩下15条鱼，请问一共有几只小猫和几条鱼呢？
从奥数的角度来说，是不建议使用方程的，显然，这是有一定道理的，因为这种题可以使儿童直观地感受到“量”。但是，网上说，这是一个盈亏问题，然后直接给出算式：小猫：（20+15）÷（6-5）=35（只）；鱼：35×6-20=190（条），然后再给你一个“一盈一亏”的公式：
这个网文说，“所谓的“奥数思维”，包含了发散思维、收敛思维、换元思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。这些内容看似高深，其实非常基础，很容易理解。它们能有效提高孩子分析问题和解决问题的能力，所以学习奥数是一种很好的思维训练方式。”但是，我真的没有看到这能够让儿童获得这些思维，仿佛这些思维不值钱一般。这个真的能够反映出本质来吗？什么叫做盈亏问题？这个公式是怎么来的？有什么意义？
进而进一步推广，一个人去进货，如果进价6元/件，则要亏20元，如果进价5元/件，则可以赚15元；又有一个人带了一些钱去进货，如果进价5元/件，进完货后，手上还剩下15元，回来6元/件卖完了，最后一数，多了20元，那么带了多少本钱去进货的，赚了多少差价. etc.
然后，经济学教材最喜欢讨论这些东西了，比如，非合作博弈论的纳什均衡（然而，看经济学教材时，其中描述令人倍感痛苦）。
再比如，苹果的个数、城市的位置，等等，当我们采用点和空间的advanced standpoint时，把个数、位置都看到是空间的点，而把苹果、城市等这些多余的东西抛掉，就可以“更简单地看清事情”——距离和测度，因而可以得到差异的一般度量方法，这正好是机器学习中的特征（向量）。点、空间、距离、测度，是另一个衡量数学方面的潜质的手段。
比如，在中学和本科，我们看到的是一个个具体的函数，而到了后来，我们只看到一般的“函数”（“映射”）——f(x)；之前我们看到的是一个个具体的算式，到了后来，我们只看到一般的“算子”。这些一般性的本质，能够使我们“更容易”看清楚“事情”（例如，学前的“数”，小学的“量”，等等）。
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，
的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
