设f(x)=3

题文

设f(x)=3-xf(x-1)(x≤0)(x＞0)，若f（x）=x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（　　）A．（-∞，1）B．（-∞，1]C．（-∞，2]D．（-∞，2） 题型：未知 难度：其他题型

答案

函数 f(x)=3-x    (x≤0)f(x)    (x＞0)的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）



由图可知：
（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；
（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；
（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；
即当a＜2时，f（x）=x+a有三个实解
故选D

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解析

3-x    (x≤0)f(x)    (x＞0)

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=3-xf(x-1)(x≤0).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点