设f(x)=x2

题文

设f(x)=x2-4x+6，x≥02x+4x＜0若存在互异的三个实数x₁，x₂，x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁+x₂+x₃的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

不妨设x₁＜x₂＜x₃，当x≥0时f（x）=（x-2）²+2，
此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，
作出函数f（x）的图象如图：
由2x+4=2得x=-1，由f（x）=（x-2）²+2=4时，解得x=2-2或x=2+2，
所以若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
则-1＜x₁＜0，2-2＜x2＜2，2＜x3＜2+2，且x2+x32=2，即x₂+x₃=4，
所以x₁+x₂+x₃=4+x₁，
因为-1＜x₁＜0，所以3＜4+x₁＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范围是（3，4）．
故答案为：（3，4）．

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=x2-4x+6，x≥02x+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点