已知函数f=x2

题文

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）证明：e^a＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）因为f′(x)=2x-ax=2x2-ax=2(x-2a2)(x+2a2)x．
当0＜x＜2a2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞2a2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f(x)min=f(2a2)=a2(1-lna2)．
又由（1）得a2＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)⇒2a2＜ea，
且当a＞2e时，2a2＞e＞1，有1＜2a2＜ea．
而f（1）=1＞0，f（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
当a＞2e时，f(x)min=f(2a2)=a2(1-lna2)＜0，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-alnx（常数a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点