题文
已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量OA，OB，OC满足OA-(32x2+1)•OB-[ln(2+3x)-y]•OC=0，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）OA=(32x2+1)•OB+[ln(2+3x)-y]•OC∵A，B，C三点共线，
∴32x2+1+ln(2+3x)-y=1∴y=32x2+ln(2+3x)
（2）方程f（x）=2x+b即32x2-2x+ln(2+3x)=b
令ϕ(x)=32x2-2x+ln(2+3x)，
∴ϕ′(x)=32+3x+3x-2=9x2-12+3x=(3x+1)(3x-1)2+3x
当x∈(0，13)时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x∈(13，1)时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）有极小值为ϕ(13)=ln3-12即为最小值．
又φ（0）=ln2，ϕ(1)=ln5-12，又ln5-12-ln2
=ln52e=12ln254e＞12ln254×3＞0∴ln5-12＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln3-12＜b≤ln2．
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解析
OA考点
据考高分专家说，试题“已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
