已知二次函数f=ax2+bx+c．若f=0，试判断函数f零点个数；是否存在a，b，c∈R，使f同时满足以下条件：①对任意x

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤12(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1
且f(x)min=0；∴-b2a=-14ac-b24a=0⇒b=2ab2=4ac⇒a=c
在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
即a+b+c=1
由a+b+c=1b=2aa=c⇒a=c=14， b=12（检验略）
∴存在a=14， b=12， c=14使f（x）同时满足条件①②．

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解析

-b2a=-14ac-b24a=0

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点