关于x的方程ax3

题文

关于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

关于实数x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解⇔a=1x-1x2-1x3有仅有一个正实数解．
令1x=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且

仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=13或t=-1．
又t∈（-1，13）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（13，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（13）=527．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=527．
故答案为：a≤0或a=527．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点