已知函数f(x)=

题文

已知函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2
∴f’（x）=-x³+2x²+2ax-2
依题意，f（x） 在区间[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在x=1处有极值，即f’（1）=-1+2+2a-2=0，解出a=12，
（2）由（1）得f(x)=-14x4+23x3+12x2-2x-2
f’（x）=-x³+2x²+x-2
令t=2^x，（t＞0）则t=2^x为增函数，每个x对应一个t，
而由题意：f（2^x）=m有三个不同的实数解，就是说，关于t的方程f（t）=m在t＞0时有三个不同的实数解．
∵f’（t）=-t³+2t²+t-2=-（t+1）（t-1）（t-2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≥0，保证t＞0，求得f（t）的增区间为1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的减区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≤0，保证t＞0，求得f（t）的减区间为0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1时有极小值，极小值为f（1）=-3712，
在t=2时有极大值，极大值为f（2）=-83，
在t趋向于0时，f（t）趋向于-2．
∵-3712＜-83＜-2
f（t）在t＞0上的图象为双峰形的一半，则要使f（t）=m有三个不同的实数解，须--3712＜m＜-83
（3）∵函数y=log₂[f（x）+p]的真数部分为f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函数y=log2[f（x）+p]的图象与x轴无交点，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值为f（-1）=-512，即f（x）≤-512
所以f（x）+p≤p-512，要使f（x）+p≠1，只有p-512＜1，才能满足题
意，解之得，p＜1712

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=-14x4+23x3+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点