设关于x的方程4x

题文

设关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）
（Ⅰ）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）原方程为b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴当b∈[-1，+∞）时方程有实数解；（4分）
（Ⅱ）①当b=-1时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②当b＞-1时，∵(2x-1)2=1+b⇒2x=1±1+b．
∵2x＞0，1+1+b＞0，∴2x=1+1+b的解为x=log2(1+1+b)；--（8分）
令1-1+b＞0⇒1+b＜1⇒-1＜b＜0，
∴当-1＜b＜0时，2x=1-1+b的解为x=log2(1-1+b)；--（10分）
综合①、②，得
（1）当-1＜b＜0时原方程有两x=log2(1±1+b)；
（2）当b≥0或b=-1时，原方程有唯一解x=log2(1+1+b)；（12分）

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解析

1+b

考点

据考高分专家说，试题“设关于x的方程4x-2x+1-b=0（b.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点