已知数列{an}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S11≥0，S12＜0，Sn的最大值是S，函数y=f满足f=f对

题文

已知数列{a_n}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是S_n，S₁₁≥0，S₁₂＜0，S_n的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立，且y=f（x） 的所有零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设数列{a_n}的公差为d，则d∈Z
∵S₁₁=11•a₆≥0，
∴a₆=a₁+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S₁₂=a1+a122•12=a6+a72•12=180+66d＜0，
解得d＜-3011…②
由①②得d=-3
则S_n=-32n²+332n
则当n=5或n=6时，S_n的最大值是S=45
∵函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
即函数y=f（x）所有零点的平均数为3
又∵y=f（x） 的所有零点和恰好为S=45
∴y=f（x）的零点共有453=15个
故答案为：15

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解析

a1+a122

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为15、公差为整数.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点