商业与经济学的应用_经济学_高等教育_教育专区。微積分精華版[第九版] 4.5 商業與經濟學的應用 歐亞書局 4.5 商業與經濟學的應用 學習目標 ? 求解商業與經濟學的最佳化問題。 ? 求解需求函數中需求的價格彈性。 ? 辨認基本的商業術語與
微積分精華版[第九版] 4.5 商業與經濟學的應用 歐亞書局 4.5 商業與經濟學的應用 學習目標 ? 求解商業與經濟學的最佳化問題。 ? 求解需求函數中需求的價格彈性。 ? 辨認基本的商業術語與公式。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 商業與經濟學的最佳化 ? 本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中 的五個步驟為解題的策略。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 範例 1 求最大收入 ? 某公司認為某產品的總收入 (美元) 可表示為 R ＝ －x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x 其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為 何？ 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 範例 1 求最大收入 （解） 1. 收入函數的草圖如圖 4.37 所示。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 圖4.37 範例 1 求最大收入 （解） 2. 主要方程式為收入函數，即 R ＝ －x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x 3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。 4. 主要方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 546 可行定義域 此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.37。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 範例 1 求最大收入 （解） 5. 為了使收入最大，先求得臨界數。 dR ? ?3x2 ? 900x ? 52,500 ? 0 dx ? 3(x ? 350)(x ? 50) ? 0 x ? 350, x ? ?50 令導數為0 因式分解 臨界數 在可行定義域中的臨界數為 x ＝ 350，由函數的 圖形可知在產量為 350 時有最大收入。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 檢查站 1 ? 求使收入函數 R ＝ －x3 ＋ 150x2 ＋ 9375x 最大化的產量，其中總收入(美元)，x 是單位生 產 (或售出) 成本，試問最大收入為何？ 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-35 商業與經濟學的最佳化 ? 為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均 成本函數 (average cost function) C 定義為 其中 C ＝ f(x) 為總成本函數，x 為產量。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 ? 某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元) 可 表示為 C ＝ 800 ＋ 0.04x ＋ 0.0002x2。求使得每 單位的平均成本為最小的產量。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 （解） 1. 令 C 為總成本，x 為產量，C 為單位平均成本。 2. 主要方程式為 C= C x 主要方程式 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 （解） 3. 將 C 代入主要方程式，可得 C ? 800 ? 0.04x ? 0.0002x2 將C代入 x ? 800 ? 0.04 ? 0.0002x 單變數函數 x 4. 函數的可行定義域為 x0 可行定義域 因為公司的產量不可能為負值。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 （解） 5. 再求臨界數如下所示。 dC dx ? ? 800 x2 ? 0.0002 ? 0 令導數為0 0.0002 ? 800 x2 x2 ? 800 0.0002 兩邊同乘x2 再除以0.0002 x2 ? 4, 000, 000 x ? ?2000 臨界數 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 （解） ? 由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如 圖 4.38 所示。即產量在 x ＝ 2000 時有最小的單 位平均成本。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 2 求最小平均成本 （解） 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 圖4.38 學習提示 ? 為了驗證在範例 2 中 x＝2000 有最小的平均成 本，可代入幾個 x 值來求 C 值。譬如，當 x ＝ 400 時的單位平均成本為 C ＝$2.12，但在 x＝ 2000 時，每單位平均成本為 C ＝$0.84。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 檢查站 2 ? 求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中 成本函數為C ＝ 400 ＋ 0.05x ＋ 0.0025x2。 其中 C 為生產 x 單位的成本 (美元)。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-36 範例 3 求最大收入 ? 某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可 賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25，則每個月 可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單 價。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 3 求最大收入（解） 1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收 入。 2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為 R ＝ xp 主要方程式 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 3 求最大收入（解） 3. 當單價 p ＝ $10 時的銷售量為 x ＝ 2000，當單 價 p ＝ $9.75 時的銷售量 x ＝ 2250。再由點斜 式來建立需求方程式。 p ?10 ? 10 ? 9.75 (x ? 2000) 點斜式 2000 ? 2250 p ?10 ? ?0.001(x ? 2000) 化簡 p ? ?0.001x ?12 次要方程式 將上式代入收入方程式可得 R ? x(?0.001x ?12) 代入p ? ?0.001x2 ?12x 單變數函數 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 3 求最大收入（解） 4. 收入方程式的可行定義域為 0 ≤ x ≤ 12,000 可行定義域 令利潤函數為零所解出的x截距即為此區間範圍。 5. 欲使收入最大化，先求臨界數。 dR ? 12 ? 0.002x ? 0 dx 令導數為0 ? 0.0002x ? ?12 x ? 6000 臨界數 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 3 求最大收入（解） ? 由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時的收入最大， 對應的單價為 p = 12 －0.001x 需求函數 = 12 －0.001(6000) 將 x ＝ 6000 代入 = $6 單價 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 3 求最大收入（解） 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 圖4.39 檢查站 3 ? 若範例 3 的單價每降低 $0.25，則每個月可再多 賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 商業與經濟學的最佳化 ? 在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的 函數；也就是R ＝ 1000(12p － p2)。求函數的臨 界數之後可知 p ＝ 6 時的收入最大。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-37 範例 4 求最大利潤 ? 某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表 示為 p ? 50 / x ，其中 p 為單價(美元)， x 為數 量。生產 x 單位的成本為 C ＝ 0.5x ＋ 500。試 問可得最大利潤的價格為何？ 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 範例 4 求最大利潤 （解） 1. 令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為數量， C 為生產 x 單位產品的總成本。 2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式 P＝R－C 主要方程式 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 範例 4 求最大利潤 （解） 3. 以 R ＝ xp 改寫主要方程式為 P ? R?C ? xp ? (0.5x ? 500) 將R和C代入 ? x ? ? ? 50 x ? ? ? ? 0.5x ? 500 將p代入 ? 50 x ? 0.5x ? 500 單變數函數 4. 函數的可行定義域為 127 x ≤ 7872 (當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 範例 4 求最大利潤 （解） 5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。 dP ? 25 ? 0.5 ? 0 dx x 令導數為0 25 ? 0.5 x 等號兩邊加0.5 50 ? x 單邊只剩x項 2500 ? x 臨界數 由圖 4.40 的利潤函數可知，在 x ＝ 2500 時有最 大利潤，對應的單價為 p ? 50 ? 50 ? 50 ? $1.00 單價 x 2500 50 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 範例 4 求最大利潤 （解） 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 圖4.40 代數技巧 ? 範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 檢查站 4 ? 由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大 的價格。 p ? 40 且 C ? 2x ? 50 x 其中 p 為單價 (美元)，x 為數量， C 為成本 (美 元)。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 商業與經濟學的最佳化 ? 為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P ＝ R － C 微分再令其為零，即 dP ? dR ? dC ? 0 dx dx dx 當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤， 如圖 4.41。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 商業與經濟學的最佳化 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-38 圖4.41 需求的價格彈性 ? 經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格 變化的反應，即需求的價格彈性 (price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需 求量增加，這種需求稱為有彈性 (elastic)。另一 方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反 應，這種需求稱為無彈性 (inelastic)。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 需求的價格彈性 ? 正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變 化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的 價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導 得之，即 ?p ? dp ?x dx 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 需求的價格彈性 ? 再利用此近似可得 需求的價格彈性 ? 需求量的變化率 價格的變化率 ? ?x / x ?p / p ? p/x ?p / ?x ? p/x dp / dx 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 學習提示 ? 在需求的價格彈性的討論中，我們假設需求量 增加，則價格減少。因此，價格函數 p ＝ f (x) 皆遞減且 dp/dx為負值。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 需求的價格彈性 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 需求的價格彈性 ? 需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.42 和下列的敘述： 1. 若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。 2. 若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 需求的價格彈性 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-39 圖4.42 範例 5 比較彈性與收入 ? 某產品的需求函數為 p ? 24 ? 2 x ，0 ≤ x ≤ 144， 其中 p 為單位價格，x 為需求量(如圖 4.43)。 a. 判斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。 b. 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 範例 5 比較彈性與收入 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 圖4.43 範例 5 比較彈性與收入 （解） a. 需求的價格彈性為 ?? p/x dp / dx 需求的價格彈性公式 24 ? 2 x ? x ?1 x 將p / x和dp / dx代入 ? 24 ? 2 ? ?? x x ? ? (? ? x) 分子和分母同乘以 ? x ? ?? ?1 x ? ?? (? x) 歐亞書局 ? ?24 x ? 2x x ? ? 24 x ? 2 x 化簡 分成兩分式並化簡 第四章 導數的應用 P.4-40 範例 5 比較彈性與收入 （解） ? 在區間 [0, 144] 內，因需求為單位彈性或 η ＝1， 所以 ? = ? 24 x ? 2 ? 1 單位彈性 x 的唯一解為 x ＝ 64，因此當 x ＝ 64 時可得需求 的單位彈性。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 範例 5 比較彈性與收入 （解） ? 對區間 (0, 64) 內的 x 值來說， ? = ? 24 x ? 2 1, 0 ? x ? 64 有彈性 x 這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說， ? = ? 24 x ? 2 1, 64 ? x ? 144 無彈性 x 這說明當 64 x 144，需求無彈性。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 範例 5 比較彈性與收入 （解） b. 由 (a) 的結果可知，在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的，在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減 的，以及當 x ＝ 64 時收入函數有極大值，如圖 4.44 所示。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 範例 5 比較彈性與收入 （解） 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 圖4.44 檢查站 5 ? 需求函數為 p ? 36 ? 2 x，0 ≤ x ≤ 324，其中 p 為單位價格，x 為數量。試判斷何時需求為有彈 性、無彈性和單位彈性。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-40 商業術語與公式 ? 本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。至於需 求、收入、成本與利潤函數的圖型則如圖4.45 所示。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-41 商業術語與公式 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-41 圖4.45 總結（4.5節） 1. 描述如何在現實生活的實例應用最佳化的解法， 來求得產品的最大利潤(範例 1 )。 2. 寫出平均成本函數的定義，參考範例 2 。 3. 寫出需求的價格彈性的定義，參考範例 5 。 歐亞書局 第四章 導數的應用 P.4-41 圖4.45
