4.1 滤波器近似 如果需要抑制的信号和需要通过的信号在频率上非常接近，那么在这种情况下 二级滤波器的截止特性可能就不够陡峭，此时就需要采用某种高阶滤波器。实际的 滤波器只能逼近图3.1所示的理想响应曲线。一般而言，如果要求逼近的程度愈好， 那么滤波器的阶数就会愈高。 实际低通滤波器与它的理想模型之间的差别可用图4.1（a）中的阴影部分来表示低 通情况。引人衰减量 A(? ) 为 A(?) ? ?20log10?H ( j?) ? （4.1） 图4.1 （a）低通响应；（b）高通响应的幅度限制 可以看到，对信号产生些微或几乎没有衰减的频率范围称为通带。对于低通滤 波器，通带一直从直流延伸到截止频率 ?c 。增益在通带范围内不必为一个常数， 对它的变化定义了一个最大变化量 Amax ，如 Amax =1dB。增益在通带内可能会呈 现起伏，此时Amax 称为最大通带起伏，而通带被称为起伏带。于是 ?c 的含义就是相 应曲线离开起伏带边界点处的频率。 幅度在过了 ?c 以后就会下降从而进入阻带。阻带是一个基本上达到完全衰减的 频率区域。阻带用某些最小允许衰减对其进行了详细标定，如 Amin =60dB 。阻带 开始处的频率记为 ? 。因为比值 ? / ? 给出了一种响应陡峭程度的度量，所以它被 称为选择性因子。介于 ?c 和 ? 之间的频率范围称为过渡带，或者边缘。某些滤 波器近似以增大其他带内起伏为代价换取过渡带内下降曲线斜率的最大化。 s s c s 低通情况下所给出的一些术语，可以很容易地 扩展到图4.1（b）所示的高通， 以及图4.2所示的带通和带阻的情况中去。 图4.2（a）带通响应；（b）带阻响应的幅度限制 随着传递函数阶数n的增加，引入了其他的一些以高价多项式系数形式出现的参数。 这些系数为设计者在给出幅频和相频特性时提供了更多的自由度，因而可以获得更 好的优化程度。在这些各种各样的近似中，有一些近似一直以来令人感到满意，于 是就在滤波器手册中详细列出了它们的系数表。它们是巴特沃兹、切比雪夫、考尔 和贝塞尔近似。 滤波器表格中列出了截止频率为1rad/s 的各种近似的分母多项式的系数。例如， 五阶巴特沃兹响应的系数是 b0=b5=1,b1=b4=3.236和b2=b3=5.236。 于是 H ( s) ? 1 s 5 ? 3.236s 4 ? 5.236s 3 ? 5.236s 2 ? 3.236s ? 1 （4.2） 另外一种方法是把H(s) 表示式分解成阶数≤2的因式乘积的形式，然后再列出这 些因式系数的表。若用这种方法来表达，上式变为 H (s) ? 1 1 1 ? ? s 2 ? 0.6180s ? 1 s 2 ? 1.6180s ? 1 s ? 1 （4.3） 高阶滤波器的设计是从选择最适合应用要求的近似开始的，然后是确 ? ，A 定 ?c ， max 和Amin 。后者是利用滤波器手册和计算机程序求得阶次n的关键。 确定了n以后，有源滤波器的设计者就有了很多的选择，其中最为常用的是级联方式 和RLC梯形仿真方式。级联方式是通过级联第3章中所研究过的低阶节来获得所需要 的响应。而梯形仿真方式则是使用诸如回旋器和频率负阻的有源阻抗转换器，来模 仿能满足要求的无源RLC滤波器原型的。 s 若选择级联设计方式，接下来是确定各个部分的 ? 和Q值（也可能是 ? ）；若 选择梯形仿真方式，则要确定各部分的R，L和C的值。这些数据可以通过滤波器表 格和计算机程序来获得。这些计算机程序是由运算放大器制造商提供用来扩大产品 的应用的 。 0 z 巴特沃兹近似 巴特沃兹近似的增益是 ?H ( j? )?? 1 1 ? ? (? / ?c ) 2 2n (4.4) 式中n是滤波器的阶次，?c 是截止频率， ? 是一个决定最大通带起伏量的常数。 2 2 ?H ( j?)? 的2n-1阶导数在 ? ? 0 例如 Amax ? A(?c ) ? 20 ? log10 1 ? ? ? 10log10 (1 ? ? ) 。 处的值为零，表明曲线 处最大平滑。由于巴特沃兹曲线在 ?c 附近变 成圆弧形，而且在阻带以-20ndB/dec的斜率滚降，因而被贴切地称为最大平坦。 图4.4（a）示出了 ? ? 1 时的情况，可见n的阶数越高，则响应曲线越逼近理想模 型。 图4.4（a）巴特沃兹响应 切比雪夫近似 有时候响应曲线的锐截止比最大平坦更为重要。切比雪夫滤波器以引入通带起 伏为代价，使过渡带曲线下降的斜率最大化，如图4.4（b）所示。一般来说，对于 给定的 Amin ，若 Amax 越大，则过渡带就越窄。若一个n阶切比雪夫近似的截止频 率为 ?c ，且满足 Amax ? 10log10 1 ? ? 2 ，则它的增益为 ?H ( j? )?? 1 2 1 ? ? 2Cn (? / ?c ) （4.5） Cn (? / ?c ) 称为n阶切比雪夫多项式，定义如下： 式中， Cn (? / ?c ? 1) ? cos[n arccos(? / ?c )] （4.6a） （4.6b） Cn (? / ?c ? 1) ? cosh[n arccos(? / ?c )] 2 2 由上式可得 Cn (? / ?c ? 1) ? 1 和 Cn (? / ?c ? 1) ? 1 。另外，在通带内使余弦项取0和 1的频率处，?H ( j?)? 的值分别取最大峰值1或最小谷值 1/ 1 ? ? 2 。包括起点在 内的这些最大值和最小值的个数等于n。 巴特沃兹近似仅仅在通带末端才呈现出对直流值的明显偏离，与此形成对照的 切比雪夫近似则通过增加通带内的起伏来提高它的过渡带特性。切比雪夫响应在直流 处的分贝值若n是奇数时为0，n是偶数时则为 0 ? Amax 。由于切比雪夫滤波器可以用 低于巴特沃兹滤波器的阶次来实现给定的过渡带截止速率，因而降低了电路的复杂性 和价格。然而，切比雪夫响应在过渡带以外就像同阶的巴特沃兹响应一样，也以-20n dB/dec滚降。 图4.4 （b） 1dB切比雪夫响应 切比雪夫，俄文原名Пафну?тий Льво?вич Чебышёв，（1821年5月26日 －1894年12月8日），俄罗斯数学家。 4.2 级联设计 这种方法是基于可以将传递函数H（s）因式分解后化成低阶项乘积的形式来实 现的。如果阶次n是偶数，那么分解后的式子由n/2个二阶项组成： H (s) ? H1 (s) ? H2 (s) ? H3 (s) ?... ? Hn/2 (s) (4.7) 如果阶次n是奇数，则分解后的式子就会含有一个一阶项。有时可将这个一阶项 与二阶项中的一个合并而产生一个三阶项。如果存在一阶项，则可用纯粹的RC或 CR网络来实现，于是仅仅需要知道的是所要求的频率 ?0 。二阶项则可以用从 3.5节到3.6节所介绍的任何一种滤波器来实现。对于每一级，都需要知道它的 ?0 和Q，如果这一级是带阻的话，还需要知道 ?z 。如前所述，这些数据可以通过 滤波器手册或者利用计算机计算而获得。 我们找出一些H(s),令我们满意，比如 巴特沃兹函数。 H ( s) ? 1 s ? 3.236s ? 5.236s ? 5.236s 2 ? 3.236s ? 1 5 4 3 H (s) ? 1 1 1 ? ? s 2 ? 0.6180s ? 1 s 2 ? 1.6180s ? 1 s ? 1 控制幅度和相频响应 高阶滤波器设计思路 低阶滤波器满足不了应用 增大传递函数阶数 找到最佳传递函数 巴特沃兹 切比雪夫 考尔 贝塞尔 高阶滤波器 级联的低阶滤波器 将传递函数H（s）因式分解 级联方式具有很多优点。每一节的设计相对较简单，元件值也一般较低。每 节低输出阻抗消除了级间负载效应，因此如果需要的话，可以将每节看成是独立 于其他部分的，从而可以单独进行协调。由于可以使用一些标准模块来设计出各 种各样和更加复杂的滤波器，因此从经济的角度来看，这种设计方式本身的模块 化是很吸引人的。 从数学的角度开说，各部分级联的顺序是没有关系的。然而在实际应用中， 由于在高Q的节中可能存在信号箝位，因此为了避免动态范围的损失和滤波器精 度的降低，可以把各节按Q值升高的顺序级联在一起，即把低Q值的节放在信号 通路的第一级上。但是，这种级联顺序并没有考虑到在高Q值节中可能成为关注 的内部噪声的影响。高Q模块中任何落在谐振峰值处的噪声都可能会被显著放大。 因此，应将高Q部分放在级联顺序中的前列来减少噪声。一般而言，最优的级联 顺序是根据输入信号的频谱，滤波器类型，以及各部分的噪声特性来进行选取的。 低通滤波器设计 表4.1列举出进行级联设计时所需的若干数据。巴特沃兹和贝塞尔分别对不同 的n值列出了它们的数据，切比雪夫则是对不同的n和 Amax 而列出。（表中示出了 对应于A ? 0dB 和 A ? 1.0dB 的数据）。考尔则是对不同的n， A 和 A 列出（表中 未示出）。频率则是通过对1Hz的截止频率归一化来表示的。这个频率在巴特沃兹 和贝塞尔情况下与-3dB频率相重合，而在切比雪夫和考尔情况下代表响应离开起伏 带时的频率。把表中归一化的频率与将要设计的滤波器截止频率 fc 相乘，可以得 到实际频率 max max max min f0 ? f0(table) ? fc （4.8a） 考尔滤波器表中不仅含有极点频率，而且还含有零点频率。零点频率可按下式进行 转换： f z ? f z (table) ? fc （4.8b） 低通滤波器常用来与模数转换（A-D）和数模转换（D-A）相连接。由著名的采 样定理可知，输入到A-D转换器的信号带宽必须限制到低于采样频率的一半，这 样才不会产生混叠。与此相类似，D-A转换器的输出信号为了不受离散化和时间 采样的影响，也必须进行适当的平滑。以上两个任务都可以由在采样频率一半的 频率处提供足够大衰减的低通滤波器实现。 表4.1 利用软件设计 满足要求的幅频、相频响应特性曲线 滤波器电路 高通滤波器设计 因为高通传递函数可以通过把低通传递函数中的 s / ?0 换成1/ (s / ?0 ) 后得到，以 及表4.1所列出归一化频率在高通滤波器设计中仍然可以使用，只要实际频率由表 中频率按如下方式来获得 f 0 ? fc / f0(table) f z ? f z / f0(table) （4.9a） （4.9b） 即可，式中 fc 是将要设计的滤波器的截止频率。 4.3 通用阻抗转换器 阻抗转换器是一种有源RC电路，可用来在有源滤波器总综合电路中模仿像电 感一类与频率有关的器件。在多种不同结构中，图4.13所示通用阻抗转换器(GIC) 是应用最为广泛的一种。它不仅可以模仿电感，而且还可以综合出和频率有关的电 阻。 图4.13 通用阻抗转换器（GIC) 图4.14 求GIC对地的等效阻抗 为了求出从A点看进去的等效阻抗Z，可在图4.14所示电路中加一个测试电压V， 会产生电流I,于是就有Z=V/I。由于运算放大器都有 Vn，所以可将两个运算放大器 ? Vp 输入端电压都标记成V。由欧姆定律，可得 I ? V ? V1 Z1 然后分别在 Z2 和 Z3 的公共节点以及Z4 和Z5 的公共节点对电流求和，可得 V1 ? V V2 ? V ? ?0 Z2 V3 消去V1和V2，对 Z=V/I 求解，可得 V2 ? V 0 ? V ? ?0 Z4 Z5 Z1Z3 Z5 Z? Z2 Z4 (4.10) 可以根据Z1到Z5不同的元件类型来将电路组成各种不同的阻抗类型。其中最有 意思与最有用途的电路如下所述： 1. 除了 Z2（或Z4） 是电容以外，其他的Z都为电阻。令（4.10）式中 Z2 ? 1/ j?C2 可 得 R1R2 R5 （4.11a） Z? ? j? L (1/ j?C2 ) R4 L? R1 R3 R5C2 R4 （4.11b） 由此可知，该电路模仿的是一个接地电感。如图4.15（a）所示。如果需要的话，可 以通过调节其中的电阻如R5来改变它的电感值。 图4.15 （a）电感模仿器； （b）D元件实现 2. 除了Z1和Z5是电容以外，其他的Z都为电阻。令（4.10）式中 和 Z5 ? 1/ j?C5 ，可得 Z1 ? 1/ j?C1 Z? (1/ j?C1 ) R3 (1/ j?C5 ) 1 ?? 2 R2 R4 ? D （4.12a） R2 R4C1C5 D? R3 （4.12b） 此时该电路模仿的是一个接地频变负阻（接地FDNR）。因为电容会产生一个和电流 的积分成比例的电压，所以FDNR（也常称为D元件）可以被看成对电流积分两次的 一种元件。它的GIC实现和电路符号所示图4.15（b）中，对它的应用后面会作简单 说明。D元件的值可以通过改变其中的一个电阻值来进行调节。 图4.16示出了另外一种常用的D元件实现电路。毋庸置疑，模仿阻抗的性能不可能 有电路中所使用的电阻、电容和运算放大器的性能那样好。为了得到好的结果，可 以采用金属膜电阻和NPO陶瓷电容来获得温度的稳定性，以及采用聚丙烯电容来获 得高Q特性。也可采用具有足够快动态响应的双运算放大器。 图4.16 另一种D元件电路 采用接地电感的电路综合 GIC最常应用在源自于无源RLC滤波器原型的无电感滤波器的实现。设计过程如 下：先设计出一个满足给定条件的RLC滤波器，然后再将原电路中的电感替换成用 GIC实现电感功能的电路。然而，必须注意的是这种一对一的替换只有在原型中的 电感是接地类型时，才可采用。 图4.17（a）所示的带通原型是这种电路典型的一个例子。因为低频信号被L短 路掉，高频信号被C电路掉，中频信号由于振谐而通过，所以该电路是一个带通滤波 器。一旦知道了滤波器特性，就可以得到一系列满足条件的RLC值，然后就可将原 来的电感替换成GIC电感模仿器，从而得到了一个仅仅含有电阻和电容的电路。结 果就是图4.17（b）中所示的双运算放大器带通（DABP)滤波器。 图4.17 （a) 无源带通滤波器原型；（b）采用电感模仿器后的电路有源实现 采用FDNR的电路综合 现在来分析作为采用FDNR有源滤波器综合电路例子的图4.18（a）所示的 RLC滤波器。因为L对低频信号相当于短路 ，而C相当于开路，所以低频信号通 过电路。L对高频信号相当于一个二阶低通响应。既然L不是一个接地电感，就不 能用模仿电路代替。可以用jw除原电路网络的各个元件值来避免这个限制。这样 就将电阻变换成电容，电感变换成电阻，以及把电容变换成D元件，如下所示： R 1 ? j? j? R ?1 （值为 R ?1 的电容) (4.13a) j? L ?L j? 1/ j?C 1 ?? 2 j? ?C (值为L的电阻） (4.13b) (值为C的D元件） (4.13c) 变换后的电路网络如图4.18（b）所示。可以证明，用相同的因子去除电路网络中 所有的阻抗后得到的修正后的网络与原网络的传递函数是一样的。因此，图4.18 （b）所示调整后的电路不仅保持了原电路的响应，而且因为变换用接地D元件代替 了浮地电感，所以修正电路就可以用GIC来实现了。 图4.18 低通RLC滤波器原型和它的CRD等效电路 4.4 直接设计 从模块化设计的角度来说，要求级联滤波器各部分是互相独立的。然而这种 特性却使得整个响应对于各个部分由于容差、热漂移和老化所带来的参数变化非 常敏感。特别对于高Q值的模块来说，其中一个元件微小的变化都会导致整个级联 电路的响应发生显著变化。另一个面，很长时间以来都认为双端终结的梯形RLC 滤波器对元件变化的林敏度是最低的。梯形结构是一个紧密的耦合系统。这种系 统的灵敏度是以一种群体的方式分布在它的所有元件上，而不是被限定在特殊的 几个上面。对灵敏度方面的考虑，以及在无源RLC网络综合领域里可资利用的丰 富知识促使了梯形模仿设计方法的出现。 先以用合适的滤波器表格和计算机程序设计出来的无源RLC梯形原型作为出发 点。然后，用模仿模块来代替电路中的电感使滤波器变成为有源结构；也就是用来 模仿电感特性而专门设计的有源电路。最后得到的电路仍然具有它的RLC原型低灵 敏度的优点。这种优点使得它非常适合应用在对特性参数要求很严格的场合。 图4.20 双端终结串联谐振RLC梯形电路 图4.20示出了双端终结串联谐振RLC梯形电路的一般形式。这是在有源滤波 器综合中最常用到的一种RLC原型电路。具体地说，对它的电路特性可分析如下。 在低频段，电感相当于短路而电容相当于开路，因此梯形电路提供了一条从输入 端直接到输出端的信号通路。低频信号得以通过，直流增益为 R / ( R ? R) ? 1/ 2V / V 。 在高频段，电路相当于短路，电路主要呈感性，同时电路对信号的传输呈现 出很大阻抗。因此，高频信号被衰减掉了。 在中频段，由于每条臂上LC器件串联谐振的影响，响应呈现出一系列的凹陷。一 个凹陷对应于一条臂。因此，梯形电路产生的是一个有凹陷的低通响应，或称为 椭圆低通响应。响应的阶次n等于臂数的两倍再加1，即n为一个奇数。若去掉最右 端的电感，则n就会被减1而变成了一个偶数。去掉臂上的电感就不会产生谐振， 因而也不会在阻带上产生凹陷。这种简化了的梯形结构也被称为全极点梯形电路。 它可被用来组成巴特沃兹、切比雪夫或者贝塞尔响应。 每个元件值都列于滤波器手册的表格中，也可以通过计算机得到。表4.2是列 表数据的一个例子。其中的元件值都是以1rad/s的截止频率和 进行了归一化的； 然而，通过将全部电抗元件除以滤波器所需的截止频率 ?c ，就可以很方便地把它 们适配成实际频率。 图4.20 双端终结串联谐振RLC梯形电路 图4.20示出了双端终结串联谐振RLC梯形电路的一般形式。这是在有源滤波器综合 中最常用到的一种RLC原型电路。具体地说，对它的电路特性可分析如下。在低频 段，电感相当于短路而电容相当于开路，因此梯形电路提供了一条从输入端直接到 输出端的信号通路。低频信号得以通过，直流增益为 R / (R ? R) ? 1/ 2V / V 。 在高频段，电容相当于短路，电路主要呈感性，同时电路对信号的传输呈现出 很大阻抗。因此，高频信号被衰减掉了。 在中频段，由于每条臂上LC器件串联谐振的影响，响应呈现出一系列的凹陷。 一个凹陷对应于一条臂。因此，梯形电路产生的是一个有凹陷的低通响应，或称为 椭圆低通响应。响应的阶次n等于臂数的两倍再加1，即n为一个奇数。若去掉最右端 的电感，则n就会被减1而变成了一个偶数。去掉臂上的电感就不会产生谐振，因而 也不会在阻带上产生凹陷。这种简化了的梯形结构也被称为全极点梯形电路。它可 被用来组成巴特沃兹、切比雪夫或者贝塞尔响应。 每个元件值都列于滤波器手册的表格中，也可以通过计算机得到。表4.2是列表 数据的一个例子。其中的元件值都是以1rad/s的截止频率和 1欧进行了归一化的；然 而，通过将全部电抗元件除以滤波器所需的截止频率，就可以很方便地把它们适配 成实际频率。 低通滤波器设计 因为图4.20所示的梯形电路中含有浮动电感，所以它无法用GIC来模仿。可以 应用4.3节所讨论过的 1/ j? 变换来克服掉这一障碍。经过变换以后电阻变成了电 容，电感变成了电阻，以及电容变成了D元件。最后得到的CRD结构就可以用接地 的FDNR来模仿了。 除了要进行 1/ j? 变换，还必须对原来的梯形电路中归一化了的元件进行去归 一化以获得要求的截止频率，然后对所获得的值再进行阻抗去归一化以获得实际电 路的值。以上三个步骤可按下面的变换一步完成： Cnew ? 1/ kz Rold （4.14a） （4.14b） （4.14c） Rj (new) ? (kz / ?c ) Lj (old ) Dj (new) ? (1/ kz?c )C j (old ) 式中 j ? 1, 2,3..., n 。RLC原型电路中元件的值称为原值，变换后RCD网络中元 价值称为新值，是需要的截止频率kz，是根据最后电路所要求的阻抗电平，而选 择的一个适合的阻抗去归一化因子。
